Matemática 7º | Números racionais

NÚMEROS RACIONAIS

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

Conjuntos de números

Números naturais

Os números naturais são os números inteiros positivos.

\(\mathbb{N}\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

Números inteiros

Os números inteiros são o zero e os números inteiros positivos e negativos.

\(\mathbb{Z}\) = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Números racionais

Os números racionais contêm os números inteiros (o zero e os inteiros positivos e negativos) e os números fracionários. Por outras palavras, é qualquer número que se consiga colocar na forma de fração.

\(\mathbb{Q}\) = \(\mathbb{Z}\) U {números fracionários}

Números fracionários

Os números fracionários podem ser dizímas finitas e dizímas infinitas periódicas.

Existem três tipos de dízimas:

• Dízima finita: 0,6
• Dízima infinita
  • periódica: 0,(6) ou 0,66666…
  • não periódica: 0,612547895…

Apenas as dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas são números fracionários:

\(0,6=\frac{6}{10}\)

\(0,(6)=\frac{2}{3}\)

As dízimas infinitas não periódicas são números irracionais, ou seja, não podem ser representadas na forma de fração.

Operações

Operações com números naturais

• Adição

4 + 2 = 6

• Subtração

4 – 2 = 2

• Multiplicação

4 × 2 = 8

• Divisão

4 : 2 = 2

Operações com números inteiros

• Simplificação da escrita (adição e subtração)

Em operações com números inteiros, muitas vezes aparecem dois sinais juntos. Uma das formas de resolver estas operações é através da simplificação da escrita, ou seja:

• se tivermos dois sinais iguais passa apenas a um sinal de +
  • + (+) = +
  • – (-) = +
• se tivermos dois sinais diferentes passa apenas a um sinal de –
  • + (-) = –
  • – (+) = –

4 + 2 = 6

-4 + 2 = -2

4 + (–2) = 4 – 2 = 2

-4 + (–2) = -4 – 2 = -6

4 – 2 = 2

-4 – 2 = -6

4 – (–2) = 4 + 2 = 6

-4 – (–2) = -4 + 2 = -2

• Resolução de operações com números inteiros através da observação do valor absoluto (adição e subtração)

Outra forma de resolver adições e subtrações com números inteiros é seguindo as seguintes regras:

• Se os dois elementos tiverem o mesmo sinal, somam-se os valores absolutos de cada elemento na adição, e subtraem-se na subtração
• Se os dois elementos tiverem sinais diferentes, subtraem-se os valores absolutos de cada elemento na adição, e adicionam-se na subtração
• O resultado apresenta sempre o sinal do elemento com maior valor absoluto.

4 + 2 = 6

-4 + 2 = -2

4 + (–2) = 2

-4 + (–2) = -6

4 – 2 = 2

-4 – 2 = -6

4 – (–2) = 4 + 2 = 6

-4 – (–2) = -4 + 2 = -2

• Simétrico da soma e da diferença
  • Simétrico da soma:
    • –(q + r) = (-q) + (– r)
  • Simétrico da diferença:
    • e –(q – r) = (-q) + r

–(4 + 9) = (–4) + (–9)

–(4 – 9) = (–4) + (+9)

• Multiplicação e divisão

Na multiplicação e na divisão, se os dois elementos tiverem o mesmo sinal, o resultado é positivo:

• (+) × (+) = (+)
• (-) × (-) = (+)
• (+) : (+) = (+)
• (+) : (+) = (+)

Se os dois elementos tiverem sinais diferentes, o resultado é negativo:

• (+) × (-) = (-)
• (+) × (-) = (-)
• (+) : (-) = (-)
• (-) : (+) = (-)

4 × 2 = 8

-4 × 2 = -8

4 × (-2) = -8

-4 × (-2) = 8

4 : 2 = 2

-4 : 2 = -2

4 : (-2) = -2

-4 : (-2) = 2

Operações com números racionais

A simplificação da escrita, o método do valor absoluto e o simétrico da soma e da diferença também se aplicam nas operações com números racionais.

\(\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\)

\(-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{6}{3}\)

\(\frac{7}{3}+(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}\)

\(-\frac{7}{3}+(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\)

\(\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}\)

\(-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\)

\(\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\)

\(-\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{6}{3}\)

\(\frac{7}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{7}{9}\)

\(-\frac{7}{3}\times\frac{1}{3}=-\frac{7}{9}\)

\(\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{9}\)

\(-\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{3})=\frac{7}{9}\)

\(\frac{7}{3}\div\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\times\frac{3}{1}=\frac{21}{3}\)

\(-\frac{7}{3}\div\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}\times\frac{3}{1}=-\frac{21}{3}\)

\(\frac{7}{3}\div(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}\times-(\frac{3}{1})=-\frac{21}{3}\)

\(-\frac{7}{3}\div(-\frac{1}{3})=-(\frac{7}{3})\times-(\frac{3}{1})=\frac{21}{3}\)

Revê aqui a matéria/resumo de matemática/síntese:

Em breve

EXERCÍCIOS

Em breve

O que tens de saber neste capítulo, segundo o programa e metas curriculares de Matemática – 7º ano:

DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES (NO7)

SUBDOMÍNIO: NÚMEROS RACIONAIS

• Multiplicar e dividir números racionais relativos

1. Provar, a partir da caraterização algébrica (a soma dos simétricos é nula), que o simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos e que o simétrico da diferença é igual à soma do simétrico do aditivo com o subtrativo: –(q + r) = (-q) + (– r) e –(q – r) = (-q) + r.
2. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de um número natural n por um número q como a soma de n parcelas iguais a q, representá-lo por n × q e por q × n, e reconhecer que n × (-q) = (-q) × n = -(n × q).
3. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do quociente entre um número q e um número natural n como o número racional cujo produto por n é igual a q e representá-lo por q:n e por \(\frac{q}{n}\) e reconhecer que \(\frac{(-q)}{n}=-\frac{q}{n}\).
4. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de um número q por \(r=\frac{a}{b}\) (onde a e b são números naturais) como o quociente por b do produto de q por a, representá-lo por q × r e r × q e reconhecer que (-q) × r = r × (-q) = – (q × r).
5. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de -1 por um número q como o respetivo simétrico e representá-lo por (-1) × q e por q × (-1).
6. Identificar, dados dois números racionais positivos q e r, o produto (-q) × (-r) como q × r, começando por observar que (-q) × (-r) = (q × (-1)) × (-r).
7. Saber que o produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, sendo o sinal positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta propriedade em exemplos concretos.
8. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do quociente entre um número q (o dividendo) e um número não nulo r (o divisor) como o número racional cujo produto pelo divisor é igual ao dividendo e reconhecer que \(\frac{-q}{r}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r}\).
9. Saber que o quociente entre um número racional e um número racional não nulo é o número racional cujo valor absoluto é igual ao quociente dos valores absolutos, sendo o sinal positivo se estes números tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta propriedade em exemplos concretos.

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