Matemática 7º | Números racionais
NÚMEROS RACIONAIS
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
Conjuntos de números
Números naturais
Os números naturais são os números inteiros positivos.
\(\mathbb{N}\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
Números inteiros
Os números inteiros são o zero e os números inteiros positivos e negativos.
\(\mathbb{Z}\) = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Números racionais
Os números racionais contêm os números inteiros (o zero e os inteiros positivos e negativos) e os números fracionários. Por outras palavras, é qualquer número que se consiga colocar na forma de fração.
\(\mathbb{Q}\) = \(\mathbb{Z}\) U {números fracionários}
Números fracionários
Os números fracionários podem ser dizímas finitas e dizímas infinitas periódicas.
Existem três tipos de dízimas:
- Dízima finita: 0,6
- Dízima infinita
- periódica: 0,(6) ou 0,66666…
- não periódica: 0,612547895…
Apenas as dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas são números fracionários:
\(0,6=\frac{6}{10}\)
\(0,(6)=\frac{2}{3}\)
As dízimas infinitas não periódicas são números irracionais, ou seja, não podem ser representadas na forma de fração.
Operações
Operações com números naturais
- Adição
4 + 2 = 6
- Subtração
4 – 2 = 2
- Multiplicação
4 × 2 = 8
- Divisão
4 : 2 = 2
Operações com números inteiros
- Simplificação da escrita (adição e subtração)
Em operações com números inteiros, muitas vezes aparecem dois sinais juntos. Uma das formas de resolver estas operações é através da simplificação da escrita, ou seja:
- se tivermos dois sinais iguais passa apenas a um sinal de +
- + (+) = +
- – (-) = +
- se tivermos dois sinais diferentes passa apenas a um sinal de –
- + (-) = –
- – (+) = –
4 + 2 = 6
-4 + 2 = -2
4 + (–2) = 4 – 2 = 2
-4 + (–2) = -4 – 2 = -6
4 – 2 = 2
-4 – 2 = -6
4 – (–2) = 4 + 2 = 6
-4 – (–2) = -4 + 2 = -2
- Resolução de operações com números inteiros através da observação do valor absoluto (adição e subtração)
Outra forma de resolver adições e subtrações com números inteiros é seguindo as seguintes regras:
- Se os dois elementos tiverem o mesmo sinal, somam-se os valores absolutos de cada elemento na adição, e subtraem-se na subtração
- Se os dois elementos tiverem sinais diferentes, subtraem-se os valores absolutos de cada elemento na adição, e adicionam-se na subtração
- O resultado apresenta sempre o sinal do elemento com maior valor absoluto.
4 + 2 = 6
-4 + 2 = -2
4 + (–2) = 2
-4 + (–2) = -6
4 – 2 = 2
-4 – 2 = -6
4 – (–2) = 4 + 2 = 6
-4 – (–2) = -4 + 2 = -2
- Simétrico da soma e da diferença
- Simétrico da soma:
- –(q + r) = (-q) + (– r)
- Simétrico da diferença:
- e –(q – r) = (-q) + r
- Simétrico da soma:
–(4 + 9) = (–4) + (–9)
–(4 – 9) = (–4) + (+9)
- Multiplicação e divisão
Na multiplicação e na divisão, se os dois elementos tiverem o mesmo sinal, o resultado é positivo:
- (+) × (+) = (+)
- (-) × (-) = (+)
- (+) : (+) = (+)
- (+) : (+) = (+)
Se os dois elementos tiverem sinais diferentes, o resultado é negativo:
- (+) × (-) = (-)
- (+) × (-) = (-)
- (+) : (-) = (-)
- (-) : (+) = (-)
4 × 2 = 8
-4 × 2 = -8
4 × (-2) = -8
-4 × (-2) = 8
4 : 2 = 2
-4 : 2 = -2
4 : (-2) = -2
-4 : (-2) = 2
Operações com números racionais
A simplificação da escrita, o método do valor absoluto e o simétrico da soma e da diferença também se aplicam nas operações com números racionais.
\(\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\)
\(-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{6}{3}\)
\(\frac{7}{3}+(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}\)
\(-\frac{7}{3}+(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\)
\(\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}\)
\(-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\)
\(\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\)
\(-\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{6}{3}\)
\(\frac{7}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{7}{9}\)
\(-\frac{7}{3}\times\frac{1}{3}=-\frac{7}{9}\)
\(\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{9}\)
\(-\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{3})=\frac{7}{9}\)
\(\frac{7}{3}\div\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\times\frac{3}{1}=\frac{21}{3}\)
\(-\frac{7}{3}\div\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}\times\frac{3}{1}=-\frac{21}{3}\)
\(\frac{7}{3}\div(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}\times-(\frac{3}{1})=-\frac{21}{3}\)
\(-\frac{7}{3}\div(-\frac{1}{3})=-(\frac{7}{3})\times-(\frac{3}{1})=\frac{21}{3}\)
Revê aqui a matéria/resumo de matemática/síntese:
Em breve
EXERCÍCIOS
Em breve
O que tens de saber neste capítulo, segundo o programa e metas curriculares de Matemática – 7º ano:
DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES (NO7)
SUBDOMÍNIO: NÚMEROS RACIONAIS
- Multiplicar e dividir números racionais relativos
- Provar, a partir da caraterização algébrica (a soma dos simétricos é nula), que o simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos e que o simétrico da diferença é igual à soma do simétrico do aditivo com o subtrativo: –(q + r) = (-q) + (– r) e –(q – r) = (-q) + r.
- Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de um número natural n por um número q como a soma de n parcelas iguais a q, representá-lo por n × q e por q × n, e reconhecer que n × (-q) = (-q) × n = -(n × q).
- Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do quociente entre um número q e um número natural n como o número racional cujo produto por n é igual a q e representá-lo por q:n e por \(\frac{q}{n}\) e reconhecer que \(\frac{(-q)}{n}=-\frac{q}{n}\).
- Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de um número q por \(r=\frac{a}{b}\) (onde a e b são números naturais) como o quociente por b do produto de q por a, representá-lo por q × r e r × q e reconhecer que (-q) × r = r × (-q) = – (q × r).
- Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de -1 por um número q como o respetivo simétrico e representá-lo por (-1) × q e por q × (-1).
- Identificar, dados dois números racionais positivos q e r, o produto (-q) × (-r) como q × r, começando por observar que (-q) × (-r) = (q × (-1)) × (-r).
- Saber que o produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, sendo o sinal positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta propriedade em exemplos concretos.
- Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do quociente entre um número q (o dividendo) e um número não nulo r (o divisor) como o número racional cujo produto pelo divisor é igual ao dividendo e reconhecer que \(\frac{-q}{r}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r}\).
- Saber que o quociente entre um número racional e um número racional não nulo é o número racional cujo valor absoluto é igual ao quociente dos valores absolutos, sendo o sinal positivo se estes números tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta propriedade em exemplos concretos.
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