Matemática 9º ano | Probabilidade

 

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MATEMÁTICA | 9º ANO


PROBABILIDADE


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AULAS E FICHAS #ESTUDOEMCASA
EXERCÍCIOS
APRENDIZAGENS ESSENCIAIS


RESUMO | MATEMÁTICA 9º ANO

ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS
PROBABILIDADE

 

 

EXPERIÊNCIAS ALEATÓRIAS

 

  Experiência determinista vs experiência aleatória

  • •  Experiência determinista:
    • conseguimos prever/determinar o resultado
      tem apenas um caso possível
    • ⤷  ex.: colocar açúcar num copo com água → o açúcar dissolve-se na água
  • • Experiência aleatória:
    • depende da sorte e do acaso
      tem um conjunto de casos possíveis (universo de resultados/espaço amostral/
      Ω)
    • # Ω→ número de casos possíveis
    • ⤷  ex.: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → # Ω = 6

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  Acontecimentos de uma experiência aleatória

  • •  Acontecimento:
    • subconjunto do universo de resultados
      pode-se representar em compreensão ou em extensão
  • • Casos favoráveis:
    • elementos de um acontecimento
      # A→ número de casos favoráveis a A

ver exemplo

Experiência: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Acontecimento A: “sair face com número par” → representado em compreensão
Acontecimento
A = {2,4,6}  → representado em extensão

Casos favoráveis ao acontecimento A = {2, 4, 6}
#A = 3

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»  Classificação de acontecimentos

  • •  Acontecimento elementar:
    • constituído por um só elemento do universo de resultados
  • • Acontecimento composto:
    • constituído por dois ou mais elementos do universo de resultados
  • •  Acontecimento certo:
    • constituído por todos os elementos do universo de resultados
  • • Acontecimento impossível:
    • não contém qualquer elemento do universo de resultados

ver exemplo

Experiência: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A: “sair face com múltiplo de 5” = {5} → acontecimento elementar
B: “sair face com número par” = {2,4,6} → acontecimento composto
C: “sair face com número natural” = {1,2,3,4,5,6} = Ω → acontecimento certo
D: “sair face com número negativo” = Ø → acontecimento impossível

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»  Reunião e Interseção de acontecimentos

  • •  Reunião de acontecimentos:
    • A U B → constituído pelos resultados que pertencem a pelo menos um dos acontecimentos A ou B
  • •  Interseção de acontecimentos:
    • A B → constituído pelos resultados que pertencem simultaneamente a A e B

ver exemplo

A = {1, 4, 5, 6}
B = {2, 4, 6}

A U B = {1, 2, 4, 5, 6}
A ∩ B = {4, 6}

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»  Acontecimentos compatíveis e incompatíveis

  • •  Acontecimentos compatíveis:
    • têm pelo menos um elemento em comum → P ∩ Q ≠ Ø
  • •  Acontecimentos incompatíveis (ou disjuntos):
    • não têm qualquer elemento em comum → P ∩ Q = Ø
      podem ser:

      • complementares (ou contrários):
        • cuja reunião é igual ao universo de resultados → P ∩ Q = Ø  ∧  P U Q = Ω
      • não complementares:
        • cuja reunião é diferente do universo de resultados → P ∩ Q = Ø  ∧  P U Q ≠ Ω

ver exemplo

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {5}
B = {2, 4, 6}
C = {1, 3, 5}

A ∩ C = {5} ∩ {1, 3, 5} = {5}
A e C são acontecimentos compatíveis

B ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {1, 3, 5} = Ø
B U C = {2, 4, 6} U {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
B e C são acontecimentos incompatíveis e complementares

A ∩ B = {5} ∩ {2, 4, 6} = Ø
A U B = {5} U {2, 4, 6} = {2, 4, 5, 6} ≠ Ω
A e B são acontecimentos incompatíveis e não complementares

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O contrário de A representa-se por Ᾱ.

ver exemplo

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {5} → Ᾱ = {1, 2, 3, 4, 6}

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PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO

 

  Escala de probabilidades

  • •  Formas de expressar a probabilidade de um acontecimento:
    • fração irredutível
      dízima
      percentagem

Sendo que:

0 ≤ P(A) ≤ 1

0% ≤ P(A) ≤ 100%

ver exemplo

P(A) = \(\frac{1}{2}\) = 0,5 = 50%

Nota:
acontecimentos com a mesma probabilidade dizem-se equiprováveis.

 

Cálculo da probabilidade de um acontecimento

» Lei de Laplace

P(A) = \(\frac{nº casos favoráveis a A}{nº casos possíveis}\)

ver exemplo 1

Experiência: lançar um dado e verificar qual o número da face que ficou virada para cima → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A: “sair face com múltiplo de 5” = {5} 

# A = 1
# Ω = 6
P(A) = \(\frac{1}{6}\) ≅ 0,167 ≅ 16,7%

ver exemplo 2

Numa turma de 20 alunos, a probabilidade de escolher um aluno ao acaso e ser rapaz é de \(\frac{1}{4}\). Quantos raparigas existem na turma?

P(ser escolhida uma rapariga) = \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{4}=\frac{x}{20}\Leftrightarrow x=\frac{3×20}{4}\Leftrightarrow x=\frac{60}{4}\Leftrightarrow x=15\)

Existem 15 raparigas na turma.

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Esquemas auxiliares de contagem

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» De experiências simples

  • •  Diagrama de Venn
    • utiliza-se, sobretudo, para contar casos favoráveis de acontecimentos resultantes da reunião ou interseção de dois ou mais acontecimentos de uma experiência com uma só ação

ver exemplo

Experiência: escolher um aluno ao acaso e verificar se teve positiva nas disciplinas de Matemática e de Português

Dados:
⤷ a turma tem 30 alunos
⤷ 2 alunos tiveram negativa nas 2 disciplinas
⤷ 20 alunos tiveram positiva a Português
⤷ 17 alunos tiveram positiva a Matemática

Alunos que tiveram positiva a Português ou a Matemática = 30 – 2 = 28
Alunos que tiveram positiva a Português e Matemática = (20 + 17) – 28 = 37 – 28 = 9
Alunos que tiveram positiva apenas a Português = 20 – 9 = 11
Alunos que tiveram positiva apenas a Matemática = 17 – 9 = 8

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» De experiências compostas

  • •  Tabela de dupla entrada
    • utiliza-se em experiências constituídas por duas ações

ver exemplo 1

Experiência: retirar , com reposição, duas bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.

A – azul
B – verde
C – preta

AVP
A(A,A)(A,V)(A,P)
V(V,A)(V,V)(V,P)
P(P,A)(P,V)(P,P)

Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?

# casos favoráveis = 5
# Ω = 9
P = \(\frac{5}{9}\)

ver exemplo 2

Experiência: retirar , sem reposição, duas bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.

A – azul
B – verde
C – preta

AVP
A×(A,V)(A,P)
V(V,A)×(V,P)
P(P,A)(P,V)×

Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?

# casos favoráveis = 4
# Ω = 6
P = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)

ver exemplo 3

Experiência: retirar , em simultâneo, duas bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.

A – azul
B – verde
C – preta

AVP
A×××
V(V,A)××
P(P,A)(P,V)×

Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?

# casos favoráveis = 2
# Ω = 3
P = \(\frac{2}{3}\)

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  • •  Diagrama em árvore
    • utiliza-se em experiências constituídas por duas ou mais ações

ver exemplo 1

Experiência: retirar , sem reposição, três bolas de um saco que contém uma bola azul, uma bola verde e uma bola preta, e verificar a cor das bolas.

A – azul
B – verde
C – preta

Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?

# casos favoráveis = 6
# Ω = 6
P = \(\frac{6}{6}\) = 1

ver exemplo 2

Experiência: retirar , sem reposição, duas bolas de um saco que contém três bolas azuis e 7 bolas verdes, e verificar a cor das bolas.

A – azul
B – verde
C – preta

Qual a probabilidade de sair pelo menos uma bola azul?

P = \(\frac{3}{10}×\frac{2}{9}+\frac{3}{10}×\frac{7}{9}+\frac{7}{10}×\frac{3}{9}\) =

= \(\frac{6}{90}+\frac{21}{90}+\frac{21}{90}\) =

= \(\frac{48}{90}\) =

= \(\frac{8}{15}\)

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› Lei dos grandes números (definição frequencista)

Quando se repete um número elevado de repetições de uma experiência, a frequência relativa de um acontecimento tende a aproximar-se do valor da probabilidade desse acontecimento.

Fr(A) ≈ P(A)

 

Nota:
quanto maior o número de repetições da experiência, mais próximo vai ser o valor da frequência relativa de um acontecimento em relação à sua probabilidade.

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APRESENTAÇÃO POWERPOINT

(em breve)

VÍDEOS YOUTUBE

(em breve)

AULAS E FICHAS #ESTUDOEMCASA

#EstudoEmCasa 2020/2021

Aula 58   |   “Experiência aleatória. Conjunto de resultados de uma experiência aleatória. Acontecimentos. Operações com acontecimentos”   »   ver aula  ·  ficha
Aula 59   |   “Probabilidade de um acontecimento. Lei de Laplace”   »   ver aula  ·  ficha
Aula 60   |   “Experiências compostas. Processos de contagem”   »   ver aula  ·  ficha
Aula 61   |   “Experiências compostas. Processos de contagem (2)”   »   ver aula  ·  ficha

 

#EstudoEmCasa 2019/2020

Aula 17   |   “Ganhas tu ou ganho eu!”   »   ver aula  ·  ficha
Aula 18   |   “Quantos queres?”   »   ver aula  ·  ficha

EXERCÍCIOS

(em breve)

APRENDIZAGENS ESSENCIAIS
  • Interpretar o conceito de probabilidade de um acontecimento como a frequência relativa da ocorrência desse acontecimento ou recorrendo à regra de Laplace.
  • Calcular a probabilidade de um acontecimento associado a uma experiência aleatória e interpretá-la como exprimindo o grau de possibilidade da sua ocorrência.
DOCUMENTOS CURRICULARES DE REFERÊNCIA

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RESUMOS E EXERCÍCIOS
9º ANO | MATEMÁTICA

›   Números reais

›   Figuras Geométricas

›   Áreas e Volumes

›   Trigonometria

›   Sequências e regularidades

›   Equações

›   Inequações

›   Funções

›   Planeamento estatístico e Tratamento de dados

›   Probabilidade


 

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