Matemática 8º ano | Representação de números racionais (dízimas finitas e infinitas periódicas)

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Representação de números racionais, dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas

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EXPLICAÇÃO DA MATÉRIA

1. Representações de números racionais

1.1. Conjuntos numéricos

Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos são conjuntos de números que possuem determinadas características.

N – Números naturais

Os números naturais são aqueles são utilizados para contar, a partir do zero. Este conjunto de números é infinito e representa-se pelo símbolo N.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Z – Números inteiros

Os números inteiros são todos os que não têm parte decimal. Este conjunto não tem início nem fim, e nele estão incluídos o zero e números negativos. Representa-se pelo símbolo Z.

Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Números fracionários

Os números fracionários correspondem a dízimas finitas (números decimais com parte decimal finita) e a dízimas infinitas periódicas (números decimais com parte decimal infinita mas com uma parte que se repete até ao infinito).

2,4 → dízima finita

2,444444… = 2,(4) → dízima infinita periódica

Q – Números racionais

Os números racionais podem ser números inteiros ou números fracionários. São todos aqueles que podem ser representados na forma de fração, podendo ainda ser representados na forma de dízima finita ou de dízima infinita periódica. Este conjunto de números representa-se através do símbolo Q.

[math]\frac{6}{3}[/math]= 2 → número racional inteiro

[math]\frac{1}{4}[/math]= 0,25 → número racional fracionário (dízima finita)

[math]\frac{1}{3}[/math]= 0,3333… = 0,(3)→ número racional fracionário (dízima infinita periódica)

1.2. Dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas

Dízimas finitas

As dízimas finitas são números cuja parte decimal tem fim. As frações decimais (cujo denominador é 10, 100, 1000, …, 10ⁿ) e as que lhe são equivalentes correspondem sempre a dízimas finitas.

Representação de frações na forma de dízima finita

1º processo: através da determinação de fração decimal equivalente a uma fração dada, facilmente conseguimos chegar à forma de dízima.

A partir da fração decimal, escrevemos o numerador e colocamos tantas casas decimais quantos zeros tiver o denominador.

[math]\frac{5}{2}[/math]=[math]\frac{25}{10}[/math]= 2,5

2º processo: através da divisão do numerador pelo denominador também é possível obter a forma de dízima de uma fração.

[math]\frac{5}{2}[/math]= 5 : 2 = 2,5

Dízimas infinitas periódicas

As dízimas infinitas periódicas são números decimais cuja parte decimal possui uma sequência de algarismos infinita, e onde um grupo de um ou mais algarismos se repetem com a mesma ordem e disposição. As frações que não são equivalentes a frações decimais correspondem a dízimas infinitas periódicas.

Período e comprimento de uma dízima infinita periódica

O período de uma dízima infinita periódica é o grupo de algarismos que se repete infinitamente. O número de algarismos do período indica-nos o seu comprimento.

1,14141414… = 1,(14) → neste caso, o período é 14, de comprimento 2

Dízimas infinitas periódicas puras e dízimas infinitas periódicas compostas

As dízimas infinitas periódicas dizem-se puras (ou simples) se não tiverem anteperíodo, ou seja, algarismos na parte decimal antes do período. Se tiverem anteperíodo, dizem-se compostas (ou mistas).

1,(14) → não tem anteperíodo → dízima infinita periódica pura

2,8(3) → tem anteperíodo → dízima infinita periódica composta

Representação de frações na forma de dízima infinita periódica

As frações que correspondem a dízimas infinitas periódicas não são equivalentes a frações decimais, por isso só as conseguimos representar na forma de dízima através da divisão do numerador pelo denominador.

[math]\frac{3}{7}[/math]= 3 : 7 = 0,(428571)

1.3. Valores aproximados e valores arredondados

Valores aproximados (por defeito e por excesso) e arredondamentos

Há várias situações do dia-a-dia em que é impossível utilizar valores exatos e temos de recorrer a valores aproximados. Por exemplo, se três amigos comprarem uma bola por 40€ e quiserem dividir o valor pelos três. Como 40 : 3 = 13,(3) cada um terá de pagar um valor aproximado desse valor.

Valores aproximados por defeito

O valor aproximado por defeito é o valor mais próximo à ordem desejada, menor que o inicial.

747,528986

→ valor aproximado por defeito às unidades: 747
→ valor aproximado por defeito às décimas: 747,5
→ valor aproximado por defeito às centésimas: 747,52

Valores aproximados por excesso

O valor aproximado por excesso é o valor mais próximo à ordem desejada, maior que o inicial.

747,528986

→ valor aproximado por excesso às unidades: 748
→ valor aproximado por excesso às décimas: 747,6
→ valor aproximado por excesso às centésimas: 747,53

Arredondamento

Um arredondamento é um valor aproximado maior ou menor que o inicial, conforme se está mais próximo do menor ou do maior à ordem desejada.

Para descobrir qual o mais próximo, podemos olhar para o primeiro algarismo a ser eliminado: se for menor que 5, aproximamos por defeito; caso contrário, aproximamos por excesso.

747,528986

→ valor arredondado às unidades: 748 (está mais perto do 748 do que do 747)
→ valor arredondado às décimas: 747,5 (está mais perto do 747,5 do que do 747,6)
→ valor arredondado às centésimas: 747,53 (está mais perto do 747,53 do que do 747,52)

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SÍNTESE

1. Representações de números racionais

1.1. Conjuntos numéricos

• Números naturais
- ⤷ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
• Números inteiros
- ⤷ Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Números fracionários
- ⤷ dízimas finitas
  - ⤷ por exemplo 2,4
- ⤷ dízimas infinitas periódicas
  - ⤷ por exemplo: 2,44444… = 2,(4)
• Números racionais
- ⤷ Q = Z U {fracionários}
- ⤷ podem ser representados na forma de fração ou na forma de dízima finita ou infinita periódica
  - ⤷ por exemplo:
    - ⤷ [math]\frac{6}{3}[/math]= 2 → número racional inteiro
    - ⤷ [math]\frac{1}{4}[/math]= 0,25 → número racional fracionário (dízima finita)
    - ⤷ [math]\frac{1}{3}[/math]= 0,3333… = 0,(3)→ número racional fracionário (dízima infinita periódica)

1.2. Dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas

• Representação de frações na forma de dízima finita
- ⤷ 1º processo: determinando a fração decimal equivalente
  - ⤷ [math]\frac{5}{2}[/math]=[math]\frac{25}{10}[/math]= 2,5
- ⤷ 2º processo: através da divisão do numerador pelo denominador
  - ⤷ [math]\frac{5}{2}[/math]= 5 : 2 = 2,5
• Dízimas infinitas periódicas
- ⤷ puras (ou simples) → não têm anteperíodo
  - ⤷ 1,14141414… = 1,(14) → período 14, de comprimento 2
- ⤷ compostas (ou mistas) → têm anteperíodo
  - ⤷ 2,8(3) → período 3, de comprimento 1, e anteperíodo 8
• Representação de frações na forma de dízima infinita periódica
- ⤷ através da divisão do numerador pelo denominador
  - ⤷ [math]\frac{3}{7}[/math]= 3 : 7 = 0,(428571)

1.3. Valores aproximados e valores arredondados

• Valores aproximados por defeito
- ⤷ valor mais próximo à ordem desejada, menor que o inicial.
  - ⤷ 747,568986
    - ⤷ valor aproximado por defeito às décimas: 747,5
• Valores aproximados por excesso
- ⤷ valor mais próximo à ordem desejada, maior que o inicial.
  - ⤷ 747,568986
    - ⤷ valor aproximado por excesso às décimas: 747,6
• Arredondamento
- ⤷ valor aproximado maior ou menor que o inicial, conforme se está mais perto do menor ou do maior à ordem desejada.
  - ⤷ 747,528986
    - ⤷ valor arredondado às décimas: 747,5 (está mais perto do 747,5 do que do 747,6)
    - ⤷ valor arredondado às centésimas: 747,53 (está mais perto do 747,53 do que do 747,54)

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EXERCÍCIOS INTERATIVOS

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PARA IMPRIMIR

Revisão da matéria
1. Representações de números racionais | resumo ⋅ síntese

Fichas de exercícios
1.1. Conjuntos numéricos | ficha 1.1. a » correção
1.2. Dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas | ficha 1.2. a ⋅ ficha 1.2 b » correção
1.3. Valores aproximados e arredondamentos | ficha 1.3. a » correção

Testes (em breve)
1. Representação de números racionais | teste 1. a » correção

Banco de itens (em breve)
1. Representação de números racionais | vários exercícios

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VÍDEOS

AULAS E FICHAS #ESTUDOEMCASA

#EstudoEmCasa 2020/2021
1 | Números racionais. Noções de simétrico e valor absoluto ou módulo. Representação na reta numérica. Comparação e ordenação” » ver aula · ficha
2 | Representação de números racionais não inteiros na forma de dízima” » ver aula · ficha

#EstudoEmCasa 2019/2020
1 | À volta com os números 2” » ver aula ⋅ ficha

APRENDIZAGENS ESSENCIAIS

Reconhecer que um número racional se pode representar como uma dízima finita ou infinita periódica.
Reconhecer a diferença entre valores aproximados e valores exatos e a sua adequação a diferentes contextos.

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RESUMOS E EXERCÍCIOS
8º ANO | MATEMÁTICA

Representações de números racionais (dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas)

Operações com números racionais

Regras das potências

Expressões numéricas

Raiz quadrada e raiz cúbica

Notação científica

Polinómios

Equações do 1º grau

Equações literais

Funções afins