Matemática 8º | Dízimas finitas e infinitas periódicas
DÍZIMAS FINITAS E INFINITAS PERIÓDICAS
FRAÇÕES E DÍZIMAS
Propriedades das frações
As frações cujo denominador é 10, 100, 1000, …, 10n designam-se frações decimais.
Propriedade 1
Uma fração irredutível é equivalente a uma fração decimal quando o seu denominador não tem fatores primos diferentes de 2 e de 5.
Ou seja, para saber se uma fração, que esteja na forma irredutível, é equivalente ou não a uma fração decimal, decompomos o denominador dessa fração em fatores primos. Se apenas tiver como fatores primos o 2 e o 5, isso significa que essa fração é equivalente a uma fração decimal.
Quando tal se verifica, então conseguimos passar a fração para fração decimal, e assim chegamos facilmente ao número decimal correspondente.
Outra forma de chegar ao número decimal é utilizando o algoritmo da divisão.
Através dos dois processos verificamos que:
Propriedade 2
Uma fração irredutível em que o denominador tem pelo menos um fator primo diferente de 2 e de 5, é representada por um número cuja parte decimal possui uma sequência de algarismos infinita, e onde um grupo de um ou mais algarismos se repetem com a mesma ordem e disposição
Ou seja, neste caso, não é possível representar a fração na forma de fração decimal e, aplicando o algoritmo da divisão, verifica-se uma repetição indefinida de uma mesma sequência de números.
Verificamos que:
Neste caso, é apenas o algarismo 6 que se repete infinitamente.
Desta vez, verificamos que:
Neste caso, repete-se infinitamente a sequência 45.
Dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas
Dízima finita
Dízima finita é um número decimal cuja parte decimal tem fim.
O número de casas decimais indica o comprimento da dízima.
As frações decimais e as que lhes são equivalentes são sempre representadas por dízimas finitas.
Dízima infinita periódica
A dízima infinita periódica apresenta sempre uma sequência de números que se repete infinitamente.
A sequência de números que se repete é o período da dízima.
As frações que não são decimais ou equivalentes são sempre representadas por dízimas infinitas periódicas.
O algoritmo da divisão e as dízimas
Representar uma dízima infinita periódica como fração
É possível, através de uma dízima infinita periódica, obter o número racional em forma de fração que essa dízima representa.
- Multiplica-se a dízima por uma potência de base 10 com expoente igual ao número de algarismos do período da dízima;
- Subtrai-se ao número obtido no ponto anterior a dízima inicial, obtendo assim uma dízima finita;
- Consideramos a dízima finita obtida acima como numerador da fração e o denominador é composto por tantos noves quanto o número de algarismos do período da dízima.
Dízimas infinitas periódicas de período 9
O algoritmo da divisão apenas produz dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas. No entanto, nunca conduz a dízimas infinitas periódicas de período igual a 9.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Escrever um número em notação científica
A notação científica é bastante útil para representar números muito pequenos ou números muito grandes.
Um número está representado em notação científica quando se encontra na forma a × 10 elevado a n, em que a é um número entre 1 (inclusive) e 10 (exclusive) e n é um número inteiro.
Sendo assim, para escrever um número em notação científica colocamos a vírgula de forma que a parte inteira seja um número de 1 a 9, e no expoente da base 10 colocamos o número de vezes que andámos com a vírgula. Se andarmos com a vírgula para a direita o expoente fica negativo, e se andarmos para a esquerda fica positivo.
Se o número estiver já na forma a × 10 elevado a n procedemos da mesma forma. Colocamos a vírgula de forma que a parte inteira seja um número de 1 a 9, e no expoente da base 10 subtraímos o número de vezes que andámos com a vírgula para a direita, ou adicionamos se andámos para a esquerda.
Comparação de números em notação científica
Entre dois números escritos em notação científica:
- se os expoentes das potências de base 10 forem iguais, será maior aquele em que o número que antecede a potência é maior
- se os expoentes das potências de base 10 forem diferentes, será maior aquele cuja potência tiver maior expoente
Operações com números escritos em notação científica
Multiplicação de números escritos em notação científica
Divisão de números escritos em notação científica
Adição e subtração de números escritos em notação científica
- Escrever cada termo com a mesma potência de base 10
- Fatorizar a expressão, colocando em evidência a potência comum, de base 10
- Efectuar os cálculos dentro de parênteses
NÚMEROS RACIONAIS
Conjuntos numéricos
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, …} → Números naturais
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} → Números inteiros
Q = Z U {números fracionários} → Números racionais
Os números racionais são quaisquer números que possam ser representados por uma fração, ou seja, incluem os números inteiros e os números fracionários.
Os números fracionários podem ser dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas.
Representação de números racionais na reta numérica
Para representar as dízimas na reta numérica, devemos colocá-las primeiro em forma de fração irredutível.
Numa fração, o denominador indica-nos o número de vezes que cada unidade está dividida, e o numerador indica-nos o número de partes que andamos a partir do 0.
Para representar os números racionais de forma rigorosa, deve-se utilizar a construção geométrica usual da divisão de um segmento de reta em partes iguais.
- Traça-se uma semirreta oblíqua à reta numérica a partir da unidade que pretendemos dividir
- Nessa reta marcam-se tantos segmentos quanto for o valor do denominador da fração que queremos representar, com uma medida qualquer
- Une-se o extremo do último segmento de reta à abcissa da unidade que pretendemos dividir
- Traçam-se segmentos de reta paralelos ao último e marcamos na reta o ponto pretendido.
No exemplo seguinte, pretendemos representar dois terços. Temos então de dividir a unidade em três partes iguais e andar 2 vezes a partir do 0.
