Matemática 8º ano | Operações com números racionais
MATEMÁTICA 8º ANO
Operações com números racionais
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EXPLICAÇÃO DA MATÉRIA
2. Operações com números racionais
2.1. Adição e subtração
Adição
Para adicionar números racionais é importante relembrar primeiro as regras da adição de números inteiros.
Adição de números inteiros com sinais iguais
Se os números que pretendemos somar têm o mesmo sinal, então o resultado fica com esse sinal e somam-se os valores absolutos das parcelas.
(+) + (+) = (+)
(-) + (-) = (-)
(+2) + (+4) = (+6) → resultado positivo porque as duas parcelas são positivas e 6 porque 2 + 4 = 6
(–1) + (–3) = (–4) → resultado negativo porque as duas parcelas são negativas e 4 porque 1 + 3 = 4
Adição de números inteiros com sinais diferentes
Se os números que pretendemos somar têm sinais diferentes, então o resultado fica com o sinal da parcela de maior valor absoluto e subtraem-se os valores absolutos das parcelas (o maior pelo menor).
(+) + (-) = (sinal da parcela com maior valor absoluto)
(-) + (+) = (sinal da parcela com maior valor absoluto)
(–6) + (+4) = (–2) → resultado negativo porque a parcela de maior valor absoluto é negativa ( |-6| > |+4| ) e 2 porque 6 – 4 = 2
(–3) + (+5) = (+2) → resultado positivo porque a parcela de maior valor absoluto é positiva ( |-3| < |+5| ) e 2 porque 5 – 3 = 2
Adição com frações
Para adicionar frações devemos ter o mesmo denominador e somam-se apenas os numeradores de acordo com as mesmas regras da adição de números inteiros, mantendo-se o denominador igual.
\((-\frac{2}{3})\) + \((+\frac{5}{4})\) = → denominadores diferentes, por isso temos de descobrir frações equivalentes
= \((-\frac{8}{12})\) + \((+\frac{15}{12})\) = → adição de números com sinais diferentes
= \((+\frac{7}{12})\) → resultado positivo porque a parcela de maior valor absoluto era positiva ( \(|(+\frac{15}{12})|\) > \(|(-\frac{8}{12})|\) ) e 7 porque 15 – 8 = 7
Subtração
Tal como na adição, para subtrair números racionais é importante relembrar primeiro as regras da subtração de números inteiros.
Subtração de números inteiros
Para subtrair números inteiros podemos transformar a subtração numa adição adicionando ao aditivo o simétrico do subtrativo. Depois, seguimos as regras da adição.
a – (+) = a + (-)
a – (-) = a + (+)
(+3) – (+5) =
= (+3) + (-5) = → passamos a subtração para adição e colocamos o simétrico de (+5)
= (-2) → seguimos as regras da adição (neste caso, com sinais diferentes, resultado com o sinal da parcela de maior valor (-5) e subtração dos valores absolutos das parcelas (5 – 3) )
Subtração com frações
Para subtrair frações devemos ter o mesmo denominador e subtraem-se apenas os numeradores de acordo com as mesmas regras da subtração de números inteiros, mantendo-se o denominador igual.
\((-\frac{2}{3})\) – \((+\frac{5}{4})\) = → denominadores diferentes, por isso temos de descobrir frações equivalentes
= \((-\frac{8}{12})\) – \((+\frac{15}{12})\) = → passar para adição colocando o simétrico do subtrativo
= \((-\frac{8}{12})\) + \((-\frac{15}{12})\) = → adição de números com sinais iguais
= \((-\frac{23}{12})\) → resultado negativo porque as parcelas são negativas e 23 porque 8 + 15 = 23
Formas de simplificar as expressões
Existem formas de simplificar as expressões de forma a efetuar menos passos, o que poderá ser bastante útil sobretudo quando na mesma expressão existem várias operações.
Simplificação da escrita
Numa expressão podemos substituir dois sinais seguidos iguais por um só sinal de + .
+ (+) = +
– (-) = +
4 + (+3) = 4 + 3 → “mais com mais dá mais”
4 – (-3) = 4 + 3 → “menos com menos dá mais”
Dois sinais seguidos diferentes podem ser substituídos por um só sinal de – .
+ (-) = –
– (+) = –
4 + (-3) = 4 – 3 → “mais com menos dá menos”
4 – (+3) = 4 – 3 → “menos com mais dá menos”
Simétrico da soma e simétrico da diferença
Quando temos o simétrico de uma soma, podemos somar os simétricos das parcelas.
– (a + b) = (-a) + (-b) = – a – b
– (2 + 4) = – 2 – 4
Quando temos o simétrico de uma subtração, podemos subtrair os simétricos das parcelas.
– (a – b) = (-a) – (-b) = – a + b
– (2 – 4) = – 2 + 4
2.2. Multiplicação e divisão
Multiplicação
A multiplicação de números racionais apresenta regras diferentes da adição e da subtração, nem é possível aplicar as mesmas regras de simplificação da escrita. Ou seja, tem regras e propriedades próprias.
Multiplicação com sinais iguais
Numa multiplicação com fatores com o mesmo sinal, o resultado fica positivo e multiplicam-se os valores absolutos dos fatores.
(+) × (+) = (+)
(-) × (-) = (+)
(+2) × (+4) = (+8) → resultado positivo porque os dois fatores têm o mesmo sinal e 8 porque 2 × 4 = 8
(-1) × (-3) = (+3) → resultado positivo porque os dois fatores têm o mesmo sinal e 3 porque 1 × 3 = 3
Multiplicação com sinais diferentes
Numa multiplicação com fatores com sinais diferentes, o resultado fica negativo e multiplicam-se os valores absolutos dos fatores.
(+) × (-) = (-)
(-) × (+) = (-)
(+2) × (-4) = (-8) → resultado negativo porque os dois fatores têm sinais diferentes e 8 porque 2 × 4 = 8
(-1) × (+3) = (-3) → resultado negativo porque os dois fatores têm sinais diferentes e 3 porque 1 × 3 = 3
Multiplicação com frações
Para multiplicar frações não é necessário terem o mesmo denominador. Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador e o resultado fica com o sinal de acordo com as mesmas regras da multiplicação de números inteiros.
\((-\frac{2}{3})\) × \((+\frac{5}{4})\) = → multiplicam-se os numeradores (2×5) e os denominadores (3×4)
= \((-\frac{10}{12})\) → o resultado fica negativo porque os dois fatores têm sinais diferentes
Propriedades da multiplicação
Propriedade comutativa da multiplicação: podemos alterar a ordem dos fatores de uma multiplicação.
a × b = b × a
5 × 3 = 3 × 5
Propriedade associativa da multiplicação: podemos associar de forma diferente os fatores de uma multiplicação.
(a × b) × c = a × (b × c)
(5 × 3) × 1 = 5 × (3 × 1)
Existência do elemento neutro da multiplicação: a multiplicação de um número por 1 fica igual a esse número.
a × 1 = a
5 × 1 = 5
Um número inteiro negativo é igual ao produto do seu simétrico por -1, ou seja, a multiplicação de um número por -1 fica o simétrico desse número.
a × (-1) = – a
5 × (-1) = -5
Existência do elemento absorvente da multiplicação: a multiplicação de um número por 0 fica sempre igual a 0.
a × 0 = 0
5 × 0 = 0
Existência do elemento inverso da multiplicação: a multiplicação de um número (exceto o 0) pelo seu inverso é igual a 1.
a × \(\frac{1}{a}\) = 1
5 × \(\frac{1}{5}\) = 1
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: a multiplicação de um número com uma adição pode ser transformada numa adição de duas multiplicações.
a × (b + c) = a × b + a × c
5 × (4 + 1) = 5 × 4 + 5 × 1
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração: a multiplicação de um número com uma subtração pode ser transformada numa subtração de duas multiplicações.
a × (b – c) = a × b – a × c
5 × (4 – 1) = 5 × 4 – 5 × 1
Divisão
As regras da divisão de números inteiros são bastante semelhantes às da multiplicação, e a divisão entre frações pode ser transformada numa multiplicação, pois a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Divisão de números inteiros com sinais iguais
Numa divisão com dividendo e divisor com o mesmo sinal, o resultado fica positivo e divide-se o dividendo pelo divisor.
(+) : (+) = (+)
(-) : (-) = (+)
(+8) : (+4) = (+2) → resultado positivo porque dividendo e divisor têm o mesmo sinal e 2 porque 8 : 4 = 2 pois 2 × 4 = 8
(-15) : (-5) = (+3) → resultado positivo porque dividendo e divisor têm o mesmo sinal e 3 porque 15 : 5 = 3 pois 3 × 5 = 15
Divisão de números inteiros com sinais diferentes
Numa divisão com dividendo e divisor com sinais diferentes, o resultado fica positivo e divide-se o dividendo pelo divisor.
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
(+8) : (-4) = (-2) → resultado negativo porque dividendo e divisor têm sinais diferentes e 2 porque 8 : 4 = 2 pois 2 × 4 = 8
(-15) : (+5) = (-3) → resultado negativo porque dividendo e divisor têm sinais diferentes e 3 porque 15 : 5 = 3 pois 3 × 5 = 15
Divisão com frações
Para dividir frações não é necessário terem o mesmo denominador. Divide-se numerador pelo numerador e denominador pelo denominador e o resultado fica com o sinal de acordo com as mesmas regras da divisão de números inteiros.
\((-\frac{16}{6})\) : \((+\frac{4}{3})\) = → dividem-se os numeradores (16 : 4) e os denominadores (6 : 3)
= \((-\frac{4}{2})\) → o resultado fica negativo porque os dois fatores têm sinais diferentes
Ao dividir o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda, ou denominador pelo denominador, nem sempre o resultado fica um número inteiro. Nesses casos, de forma a obter um resultado na forma de fração, é possível transformar a divisão numa multiplicação, multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
\((-\frac{2}{3})\) : \((+\frac{4}{5})\) = → passa-se para multiplicação colocando o inverso da segunda fração
= \((-\frac{2}{3})\) × \((+\frac{5}{4})\) = → multiplicam-se os numeradores (2×5) e os denominadores (3×4)
= \((-\frac{10}{12})\) → o resultado fica negativo porque os dois fatores têm sinais diferentes
2.3. Expressões numéricas
Expressões numéricas com adições, subtrações, multiplicações e divisões
As expressões numéricas podem apresentar adições, subtrações, multiplicações e divisões misturadas, e existem regras na prioridade das operações a serem realizadas.
Prioridades das operações nas expressões numéricas
Em primeiro lugar devemos realizar as operações dentro de parênteses, depois as multiplicações e divisões pela ordem em que aparecem e, no fim, as adições e subtrações pela ordem em que aparecem.
2 + 3 – (3 + 5 × 3) : 2 = → multiplicação dentro de parênteses
= 2 + 3 – (3 + 15) : 2 = → adição dentro de parênteses
= 2 + 3 – 18 : 2 = → divisão pois tem prioridade sobre a adição e subtração
= 2 + 3 – 9 = → adição pois aparece primeiro que a subtração
= 5 – 9 =
= – 4
SÍNTESE
2. Operações com números racionais
2.1. Adição e subtração
- • Adição com sinais iguais
- ⤷ fica com o mesmo sinal
- ⤷ somam-se os valores absolutos das parcelas
- ⤷ (+2) + (+4) = (+6)
- ⤷ (-1) + (-3) = (-4)
- • Adição com sinais diferentes
- ⤷ fica com o sinal da parcela de maior valor absoluto
- ⤷ subtraem-se os valores absolutos das parcelas (o maior pelo menor)
- ⤷ (-6) + (+4) = (-2)
- ⤷ (-3) + (+5) = (+2)
- • Adição com frações
- ⤷ as frações devem ter o mesmo denominador
- ⤷ somam-se os numeradores, denominador fica igual
⤷ \((-\frac{2}{3})\) + \((+\frac{5}{4})\) =
= \((-\frac{8}{12})\) + \((+\frac{15}{12})\) =
= \((+\frac{7}{12})\)
- • Subtração de números inteiros
- ⤷ adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtrativo
- ⤷ (+3) – (+5) = (+3) + (-5) = (-2)
- ⤷ (+3) – (-5) = (+3) + (+5) = (+8)
- • Subtração com frações
- ⤷ as frações devem ter o mesmo denominador
- ⤷ subtraem-se os numeradores, denominador fica igual
- ⤷ \((-\frac{2}{3})\) – \((+\frac{5}{4})\) =
= \((-\frac{8}{12})\) – \((+\frac{15}{12})\) =
= \((-\frac{8}{12})\) + \((-\frac{15}{12})\) =
= \((-\frac{23}{12})\)
- • Simplificação da escrita
- ⤷ + (+) = +
- ⤷ – (-) = +
- ⤷ + (-) = –
- ⤷ – (+) = –
- • Simétrico da soma e simétrico da diferença
- ⤷ – (a + b) = – a – b
- ⤷ – (a – b) = – a + b
2.2. Multiplicação e divisão
- • Multiplicação com sinais iguais
- ⤷ fica positivo
- ⤷ multiplicam-se os fatores
- ⤷ (+2) × (+4) = (+8)
- ⤷ (-1) × (-3) = (+3)
- • Multiplicação com sinais diferentes
- ⤷ fica negativo
- ⤷ multiplicam-se os fatores
- ⤷ (-2) × (+4) = (-8)
- ⤷ (-1) × (+3) = (-3)
- • Multiplicação com frações
- ⤷ as frações não precisam de ter o mesmo denominador
- ⤷ multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador
- ⤷ \((-\frac{2}{3})\) × \((+\frac{5}{4})\) =
= \((-\frac{10}{12})\)
- • Propriedades da multiplicação
- ⤷ Propriedade comutativa → a × b = b × a
- ⤷ Propriedade associativa → (a × b) × c = a × (b × c)
- ⤷ Elemento neutro → a × 1 = a
- ⤷ Multiplicação por -1 → a × (-1) = – a
- ⤷ Elemento absorvente → a × 0 = 0
- ⤷ Elemento inverso → a × \(\frac{1}{a}\) = 1
- ⤷ Propriedade distributiva → a × (b + c) = a × b + a × c | a × (b – c) = a × b – a × c
- • Divisão com sinais iguais
- ⤷ fica positivo
- ⤷ divide-se dividendo pelo divisor
- ⤷ (+8) : (+4) = (+2)
- ⤷ (-15) : (-5) = (+3)
- • Divisão com sinais diferentes
- ⤷ fica negativo
- ⤷ divide-se dividendo pelo divisor
- ⤷ (-8) : (+4) = (-2)
- ⤷ (-15) : (+5) = (-3)
- • Divisão com frações
- ⤷ as frações não precisam de ter o mesmo denominador
- ⤷ é possível torná-la numa multiplicação colocando o inverso da segunda fração
- ⤷ \((-\frac{2}{3})\) : \((+\frac{4}{5})\) =
= \((-\frac{2}{3})\) × \((+\frac{5}{4})\) =
= \((-\frac{10}{12})\)
2.3. Expressões numéricas
- • Prioridades das operações
- ⤷ 1º: operações dentro de parênteses
- ⤷ 2º: multiplicações e divisões pela ordem em que aparecem
- ⤷ 3º: adições e subtrações pela ordem em que aparecem
- ⤷2 + 3 – (3 + 5 × 3) : 2 =
= 2 + 3 – (3 + 15) : 2 =
= 2 + 3 – 18 : 2 =
= 2 + 3 – 9 =
= 5 – 9 =
= – 4
EXERCÍCIOS INTERATIVOS
PARA IMPRIMIR
Revisão da matéria
2. Operações com números racionais | resumo ⋅ síntese
Fichas de exercícios
2.1. Adição e subtração | ficha 2.1. a » correção
2.2. Multiplicação e subtração | ficha 2.2. a » correção
2.3. Expressões numéricas | ficha 2.3. a » correção
Testes (em breve)
2. Operações com números racionais | teste 2. a » correção
Banco de itens (em breve)
2. Operações com números racionais | vários exercícios
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