Matemática 8º | Dízimas finitas e infinitas periódicas

 

DÍZIMAS FINITAS E INFINITAS PERIÓDICAS

 

 

 

FRAÇÕES E DÍZIMAS

 

 

Propriedades das frações

 

As frações cujo denominador é 10, 100, 1000, …, 10n designam-se frações decimais.

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Propriedade 1

Uma fração irredutível  é equivalente a uma fração decimal quando o seu denominador não tem fatores primos diferentes de 2 e de 5.

 

Ou seja, para saber se uma fração, que esteja na forma irredutível, é equivalente ou não a uma fração decimal, decompomos o denominador dessa fração em fatores primos. Se apenas tiver como fatores primos o 2 e o 5, isso significa que essa fração é equivalente a uma fração decimal.

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Quando tal se verifica, então conseguimos passar a fração para fração decimal, e assim chegamos facilmente ao número decimal correspondente.

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Outra forma de chegar ao número decimal é utilizando o algoritmo da divisão.

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Através dos dois processos verificamos que:

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Propriedade 2

Uma fração irredutível em que o denominador tem pelo menos um fator primo diferente de 2 e de 5, é representada por um número cuja parte decimal possui uma sequência de algarismos infinita, e onde um grupo de um ou mais algarismos se repetem com a mesma ordem e disposição

 

Ou seja, neste caso, não é possível representar a fração na forma de fração decimal e, aplicando o algoritmo da divisão, verifica-se uma repetição indefinida de uma mesma sequência de números.

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Verificamos que:

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Neste caso, é apenas o algarismo 6 que se repete infinitamente.

 

 

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Desta vez, verificamos que:

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Neste caso, repete-se infinitamente a sequência 45.

 

 

 

Dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas

 

Dízima finita

Dízima finita é um número decimal cuja parte decimal tem fim.

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O número de casas decimais indica o comprimento da dízima.

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As frações decimais e as que lhes são equivalentes são sempre representadas por dízimas finitas.

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Dízima infinita periódica

A dízima infinita periódica apresenta sempre uma sequência de números que se repete infinitamente.

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A sequência de números que se repete é o período da dízima.

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As frações que não são decimais ou equivalentes são sempre representadas por dízimas infinitas periódicas.

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O algoritmo da divisão e as dízimas

 

Representar uma dízima infinita periódica como fração

É possível, através de uma dízima infinita periódica, obter o número racional em forma de fração que essa dízima representa.

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  1. Multiplica-se a dízima por uma potência de base 10 com expoente igual ao número de algarismos do período da dízima;

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  1. Subtrai-se ao número obtido no ponto anterior a dízima inicial, obtendo assim uma dízima finita;

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  1. Consideramos a dízima finita obtida acima como numerador da fração e o denominador é composto por tantos noves quanto o número de algarismos do período da dízima. 

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Dízimas infinitas periódicas de período 9

O algoritmo da divisão apenas produz dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas. No entanto, nunca conduz a dízimas infinitas periódicas de período igual a 9.

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NOTAÇÃO CIENTÍFICA

 

 

Escrever um número em notação científica

 

A notação científica é bastante útil para representar números muito pequenos ou números muito grandes.

 

Um número está representado em notação científica quando se encontra na forma a × 10 elevado a n, em que a é um número entre 1 (inclusive) e 10 (exclusive) e n é um número inteiro.

 

Sendo assim, para escrever um número em notação científica colocamos a vírgula de forma que a parte inteira seja um número de 1 a 9, e no expoente da base 10 colocamos o número de vezes que andámos com a vírgula. Se andarmos com a vírgula para a direita o expoente fica negativo, e se andarmos para a esquerda fica positivo. 

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Se o número estiver já na forma a × 10 elevado a n procedemos da mesma forma. Colocamos a vírgula de forma que a parte inteira seja um número de 1 a 9, e no expoente da base 10 subtraímos o número de vezes que andámos com a vírgula para a direita, ou adicionamos se andámos para a esquerda.

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Comparação de números em notação científica

 

Entre dois números escritos em notação científica:

  • se os expoentes das potências de base 10 forem iguais, será maior aquele em que o número que antecede a potência é maior

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  • se os expoentes das potências de base 10 forem diferentes, será maior aquele cuja potência tiver maior expoente

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 Operações com números escritos em notação científica

 

Multiplicação de números escritos em notação científica

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Divisão de números escritos em notação científica

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Adição e subtração de números escritos em notação científica
  1. Escrever cada termo com a mesma potência de base 10

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  1. Fatorizar a expressão, colocando em evidência a potência comum, de base 10

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  1. Efectuar os cálculos dentro de parênteses

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NÚMEROS RACIONAIS

 

 

Conjuntos numéricos

 

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, …} → Números naturais

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} → Números inteiros

Q =  Z U {números fracionários} → Números racionais

 

Os números racionais são quaisquer números que possam ser representados por uma fração, ou seja, incluem os números inteiros e os números fracionários.

Os números fracionários podem ser dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas.

 

 

 

Representação de números racionais na reta numérica

 

Para representar as dízimas na reta numérica, devemos colocá-las primeiro em forma de fração irredutível.

Numa fração, o denominador indica-nos o número de vezes que cada unidade está dividida, e o numerador indica-nos o número de partes que andamos a partir do 0.

Para representar os números racionais de forma rigorosa, deve-se utilizar a construção geométrica usual da divisão de um segmento de reta em partes iguais.

  1. Traça-se uma semirreta oblíqua à reta numérica a partir da unidade que pretendemos dividir
  2. Nessa reta marcam-se tantos segmentos quanto for o valor do denominador da fração que queremos representar, com uma medida qualquer
  3. Une-se o extremo do último segmento de reta à abcissa da unidade que pretendemos dividir
  4. Traçam-se segmentos de reta paralelos ao último e marcamos na reta o ponto pretendido.

 

No exemplo seguinte, pretendemos representar dois terços. Temos então de dividir a unidade em três partes iguais e andar 2 vezes a partir do 0.

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