Preparação para prova final de Matemática do 9º ano

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Omissão do sinal de multiplicação (⨯)
O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) = 4 (-5 + 2)
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1) = (4 + 1) (- 5 + 2 -1)

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Mais propriedades da multiplicação
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem dos fatores → – 5 ⨯ 8 = 8 ⨯ (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das multiplicações → – 5 ⨯ 8 ⨯ 2 = (- 5 ⨯ 8) + 2 = – 5 ⨯ (8 ⨯ 2)
Propriedade do elemento neutro: multiplicar por um não altera o resultado → – 5 ⨯ 1 = – 5
Propriedade do elemento absorvente: multiplicar por zero é sempre igual a zero → – 5 ⨯ 0 = 0

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou (preferencialmente) através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.
1 + 2 (- 2 + 5) – (- 2)
= 1 – 4 + 10 – (- 2)
= 1- 4 + 10 + 2
= – 3 +10 + 2
= 7 + 2
=9

Propriedades das operações com números irracionais

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.

Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0

Técnica do elevador para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.

Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0

Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)

Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5

Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1

Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
Nota: O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) =
= 4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8

Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1)
= (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1

Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades. Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações. Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.