matemática 7º, 8º e 9º anos
Resumo dos conteúdos e exercícios – preparação para a prova final
Realizado por Luis Carrilho, não por IA!
I – Números e operações
1. Operações com números inteiros
Dos números naturais aos números inteiros
Os números naturais são os números que usamos para contar. O conjunto dos números naturais representa-se por ℕ, começa no zero e é infinito.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}
O zero não é positivo nem negativo. Os restantes números naturais são números inteiros positivos.
Se ao conjunto dos números naturais juntarmos os números simétricos dos inteiros positivos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que representa-se por ℤ.
ℤ = { … , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Valor absoluto ou módulo de um número
O valor absoluto ou módulo de um número é a distância do ponto na reta numérica que representa esse número ao zero. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número natural.
Para representar o módulo de um número, colocamos o número entre barras (| |).
| 5 | = 5
| – 5 | = 5
| 0 | = 0
“Técnica do elevador” para somar e subtrair números inteiros
Para somar ou subtrair números inteiros, podemos “pensar/imaginar” que estamos num elevador. O primeiro número é o piso em que estamos e o segundo número representa quantos pisos vamos subir ou descer.
Numa soma subimos → 5 + 4 = 9
Numa subtração descemos → 5 – 4 = 1
Quando o primeiro número é negativo, ao somar vamos nos aproximar do zero → – 5 + 4 = – 1
Quando o primeiro número é negativo, ao subtrair vamos nos afastar do zero → – 5 – 4 = – 9
Quando o primeiro número é negativo, ao somar um número com maior valor absoluto, ultrapassamos o zero e o resultado fica positivo → – 5 + 10 = 5
Quando o primeiro número é positivo, ao subtrair com um número de maior valor absoluto, também ultrapassamos o zero e o resultado fica negativo → 5 – 10 = – 15
Ou seja, numa adição ou subtração, o resultado só muda de sinal se o que somamos ou subtraímos tem maior valor absoluto.
Propriedades da adição
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem das parcelas → – 5 + 8 = 8 + (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das adições → – 5 + 8 + 2 = (- 5 + 8) + 2 = – 5 + (8 + 2)
Propriedade do elemento neutro: somar zero não altera o resultado → – 5 + 0 = – 5
Propriedade do elemento simétrico: a soma de números simétricos é igual a zero → – 5 + 5 = 0
Parênteses nas operações
Os parênteses são utilizados nas operações para indicar prioridade → 5 + (8 + 2) = 5 + 10
No entanto, também podem ser utilizados apenas para separar dois sinais juntos → 5 + (- 2)
Simplificação da escrita
Quando temos sinais de mais (+) e menos (-) juntos, fazemos a simplificação da escrita, ou seja, tiramos parênteses e passamos a um só sinal de mais ou de menos.
Dois sinais iguais passam a um só sinal de mais, dois sinais diferentes passam a um só sinal de menos.
+ (+) = + → 5 + (+ 5) = 5 + 5
– (-) = + → 5 – (- 5) = 5 + 5
+ (-) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
– (+) = – → 5 + (- 5) = 5 – 5
Simétrico da soma e da subtração
O sinal de menos antes de parênteses troca os sinais de todos os números que se encontram dentro de parênteses.
– (5 – 3 + 1) = – 5 + 3 – 1
Omissão do sinal de multiplicação (⨯)
O sinal da multiplicação (⨯) muitas vezes encontra-se omitido, por exemplo quando a seguir tem um parênteses.
4 ⨯ (-5 + 2) = 4 (-5 + 2)
(4 + 1) ⨯ (- 5 + 2 -1) = (4 + 1) (- 5 + 2 -1)
Propriedade distributiva
Na multiplicação de um número com uma adição ou subtração, efetuamos primeiro as operações dentro de parênteses ou aplicamos a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos esse número com cada número que está dentro de parênteses, tendo em atenção aos sinais. Se os sinais dos fatores forem iguais, o resultado fica positivo, mas se forem diferentes fica negativo.
4 (-5 + 2)
= 4 ⨯ (-5) + 4 ⨯ 2
= – 20 + 8
Também podemos utilizar a propriedade distributiva quando temos uma multiplicação entre operações de adição e subtração. Cada um dos números dentro dos primeiros parênteses multiplica com cada um dos números dos segundos parênteses, tendo sempre em atenção primeiro os sinais.
(4 + 1) (- 5 + 2 -1)
= 4 ⨯ (- 5) + 4 ⨯ 2 + 4 ⨯ (-1) + 1 ⨯ (-5) + 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ (- 1)
= – 20 + 8 – 4 – 5 + 2 – 1
Mais propriedades da multiplicação
Propriedade comutativa: podemos alterar a ordem dos fatores → – 5 ⨯ 8 = 8 ⨯ (- 5)
Propriedade associativa: podemos alterar a ordem das multiplicações → – 5 ⨯ 8 ⨯ 2 = (- 5 ⨯ 8) + 2 = – 5 ⨯ (8 ⨯ 2)
Propriedade do elemento neutro: multiplicar por um não altera o resultado → – 5 ⨯ 1 = – 5
Propriedade do elemento absorvente: multiplicar por zero é sempre igual a zero → – 5 ⨯ 0 = 0
Expressões numéricas
Numa expressão numérica (conjunto de várias operações) temos de ter em atenção às prioridades.
Multiplicações e divisões têm sempre prioridade em relação às adições e subtrações.
Quando há parênteses, podemos retirá-los realizando primeiro as operações dentro deles ou (preferencialmente) através da simplificação da escrita ou da propriedade distributiva.
1 + 2 (- 2 + 5) – (- 2)
= 1 – 4 + 10 – (- 2)
= 1- 4 + 10 + 2
= – 3 +10 + 2
= 7 + 2
=9
2. Operações com números racionais
Frações
A divisão de um número inteiro por outro número inteiro diferente de zero corresponde a uma fração.
2 : 5 = 2⁄5
Ao primeiro número dá-se o nome de numerador e ao segundo denominador.
Dízimas
Uma fração pode corresponder a um número inteiro, a uma dízima finita (com parte decimal finita) ou a uma dízima infinita periódica (com parte decimal com sequência de números que se repete infinitamente).
4⁄2 = 2 → número inteiro
2⁄5 = 0,4 → dízima finita
2⁄3 = 0,6666… = 0,(6) → dízima infinita periódica
Adição e subtração de frações
Para adicionar (ou subtrair) frações devemos obter frações equivalentes com o mesmo denominador. Depois, soma-se (ou subtrai-se) o numerador e mantém-se o denominador.
2⁄3 + 2⁄5
= 10⁄15 + 6⁄15
= 16⁄15
Multiplicação de frações
Para multiplicar frações não é necessário denominadores iguais. Basta multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador.
2⁄3 ⨯ 2⁄5
= 4⁄15
Inverso de um número
Se trocarmos o numerador com o denominador, obtemos o inverso do número.
2⁄3 é inverso de 3⁄2
1⁄3 é inverso de 3
Propriedades da multiplicação
Propriedade do elemento inverso: a multiplicação de um número pelo seu inverso é sempre igual a um:
2⁄3 ⨯ 3⁄2 = 1
Se apenas for o numerador igual ao denominador da outra fração (ou vice-versa), podemos “cortá-los” nas duas frações e o resultado fica uma fração com o outro numerador e com o outro denominador que não foram cortados.
2⁄3 ⨯ 5⁄2 = 5⁄3
Divisão de frações
É possível transformar uma divisão numa multiplicação trocando a segunda fração pelo seu inverso.
2⁄3 : 2⁄5
= 2⁄3 ⨯ 5⁄2
= 10⁄6
Operações com de frações com números inteiros e dízimas
Quando aparecem números inteiros ou na forma de dízima nas operações com frações, devemos em primeiro lugar passar esses números para forma de fração. Aos números inteiros basta acrescentar o número um como denominador, e as dízimas finitas podem ser transformadas em frações decimais.
4 + 0,3 ⨯ 1⁄2
= 4⁄1 + 3⁄10 ⨯ 1⁄2
Operações com números racionais
Todas as propriedades e prioridades das operações com números inteiros são aplicáveis também nas operações com números racionais.
Forma irredutível
Se o resultado final for uma dízima, devemos deixar o valor na forma de fração irredutível.
10⁄6 = 5⁄3
3. Potências
4. Percentagens
5. Notação científica
6. Conjunto dos números reais
7. Operações com números reais
8. Relação de ordem e valores aproximados
9. Intervalos de números reais
II – Álgebra
1. Equações do 1º grau
2. Inequações do 1º grau
3. Produto de polinómios
4. Casos notáveis
5. Fatorização
6. Forma canónica de equações do 2º grau
7. Resolução de equações do 2º grau
8. Equações literais
9. Sistemas de 2 equações
III – Funções, sequências e sucessões
1. Linguagem das funções
2. Função afim
3. Função de proporcionalidade inversa
4. Função quadrática
5. Sequências
IV – Geometria e medida
1. Vetores
2. Isometrias e simetrias
3. Perímetro e área de figuras planas
4. Teorema de Pitágoras
5. Semelhança de figuras
6. Trigonometria
7. Volumes e áreas de superfícies de sólidos
8. Circunferência
9. Lugares geométricos
V – Dados e probabilidades
1. Estudo estatístico
2. Probabibildades
Resumo
Realizámos um documento com o essencial do que precisas de saber:
Provas de anos anteriores
A melhor forma de te prepares para a prova, depois de estudares por este resumo, é realizares as provas dos anos anteriores:
Ver também: