Matemática 7º | Números racionais

 

NÚMEROS RACIONAIS

 

 

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

 

Conjuntos de números

 

Números naturais

Os números naturais são os números inteiros positivos.

[math]\mathbb{N}[/math] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

 

Números inteiros

Os números inteiros são o zero e os números inteiros positivos e negativos.

[math]\mathbb{Z}[/math] = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

 

Números racionais

Os números racionais contêm os números inteiros (o zero e os inteiros positivos e negativos) e os números fracionários. Por outras palavras, é qualquer número que se consiga colocar na forma de fração.

[math]\mathbb{Q}[/math] = [math]\mathbb{Z}[/math] U {números fracionários}

 

Números fracionários

Os números fracionários podem ser dizímas finitas e dizímas infinitas periódicas.

 

Existem três tipos de dízimas:

  • Dízima finita: 0,6
  • Dízima infinita
    • periódica: 0,(6) ou 0,66666…
    • não periódica: 0,612547895…

 

Apenas as dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas são números fracionários:

[math]0,6=\frac{6}{10}[/math]

[math]0,(6)=\frac{2}{3}[/math]

 

As dízimas infinitas não periódicas são números irracionais, ou seja, não podem ser representadas na forma de fração.

 

 

Operações

 

Operações com números naturais

  • Adição

4 + 2 = 6

 

  • Subtração

4 – 2 = 2

 

  • Multiplicação

4 × 2 = 8

 

  • Divisão

4 : 2 = 2

 

 

Operações com números inteiros

  • Simplificação da escrita (adição e subtração)

Em operações com números inteiros, muitas vezes aparecem dois sinais juntos. Uma das formas de resolver estas operações é através da simplificação da escrita, ou seja:

  • se tivermos dois sinais iguais passa apenas a um sinal de +
    • + (+) = +
    • – (-) = +
  • se tivermos dois sinais diferentes passa apenas a um sinal de
    • + (-) = –
    • – (+) = –

 

4 + 2 = 6

-4 + 2 = -2

4 + (2) = 4 2 = 2

-4 + (2) = -4 2 = -6

 

4 – 2 = 2

-4 – 2 = -6

4 (2) = 4 + 2 = 6

-4 (2) = -4 + 2 = -2

 

  • Resolução de operações com números inteiros através da observação do valor absoluto (adição e subtração)

Outra forma de resolver adições e subtrações com números inteiros é seguindo as seguintes regras:

  • Se os dois elementos tiverem o mesmo sinal, somam-se os valores absolutos de cada elemento na adição, e subtraem-se na subtração
  • Se os dois elementos tiverem sinais diferentes, subtraem-se os valores absolutos de cada elemento na adição, e adicionam-se na subtração
  • O resultado apresenta sempre o sinal do elemento com maior valor absoluto.

 

4 + 2 = 6

-4 + 2 = -2

4 + (2) = 2

-4 + (2) = -6

 

4 – 2 = 2

-4 – 2 = -6

4 (2) = 4 + 2 = 6

-4 (2) = -4 + 2 = -2

 

  • Simétrico da soma e da diferença
    • Simétrico da soma:
      • (q + r) = (-q)(– r)
    • Simétrico da diferença:
      • e (q – r) = (-q) + r

 

(4 + 9) = (4)(9)

(4 – 9) = (4)(+9)

 

  • Multiplicação e divisão

Na multiplicação e na divisão, se os dois elementos tiverem o mesmo sinal, o resultado é positivo:

  • (+) × (+) = (+)
  • (-) × (-) = (+)
  • (+) : (+) = (+)
  • (+) : (+) = (+)

Se os dois elementos tiverem sinais diferentes, o resultado é negativo:

  • (+) × (-) = (-)
  • (+) × (-) = (-)
  • (+) : (-) = (-)
  • (-) : (+) = (-)

 

4 × 2 = 8

-4 × 2 = -8

4 × (-2) = -8

-4 × (-2) = 8

 

4 : 2 = 2

-4 : 2 = -2

4 : (-2) = -2

-4 : (-2) = 2

 

Operações com números racionais

A simplificação da escrita, o método do valor absoluto e o simétrico da soma e da diferença também se aplicam nas operações com números racionais.

 

[math]\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}[/math]

[math]-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{6}{3}[/math]

[math]\frac{7}{3}+(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}[/math]

[math]-\frac{7}{3}+(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}[/math]

 

[math]\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}[/math]

[math]-\frac{7}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}[/math]

[math]\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{8}{3}[/math]

[math]-\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{6}{3}[/math]

 

[math]\frac{7}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{7}{9}[/math]

[math]-\frac{7}{3}\times\frac{1}{3}=-\frac{7}{9}[/math]

[math]\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{3})=-\frac{7}{9}[/math]

[math]-\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{3})=\frac{7}{9}[/math]

 

[math]\frac{7}{3}\div\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\times\frac{3}{1}=\frac{21}{3}[/math]

[math]-\frac{7}{3}\div\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}\times\frac{3}{1}=-\frac{21}{3}[/math]

[math]\frac{7}{3}\div(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}\times-(\frac{3}{1})=-\frac{21}{3}[/math]

[math]-\frac{7}{3}\div(-\frac{1}{3})=-(\frac{7}{3})\times-(\frac{3}{1})=\frac{21}{3}[/math]

 


 

Revê aqui a matéria/resumo de matemática/síntese:

Em breve

 


 

EXERCÍCIOS

Em breve

 


 

O que tens de saber neste capítulo, segundo o programa e metas curriculares de Matemática – 7º ano:

 

DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES (NO7)

SUBDOMÍNIO: NÚMEROS RACIONAIS

 

  • Multiplicar e dividir números racionais relativos
  1. Provar, a partir da caraterização algébrica (a soma dos simétricos é nula), que o simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos e que o simétrico da diferença é igual à soma do simétrico do aditivo com o subtrativo: (q + r) = (-q)(– r) e (q – r) = (-q) + r.
  2. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de um número natural n por um número q como a soma de n parcelas iguais a q, representá-lo por n × q e por q × n, e reconhecer que n × (-q) = (-q) × n = -(n × q).
  3. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do quociente entre um número q e um número natural n como o número racional cujo produto por n é igual a q e representá-lo por q:n e por [math]\frac{q}{n}[/math] e reconhecer que [math]\frac{(-q)}{n}=-\frac{q}{n}[/math].
  4. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de um número q por [math]r=\frac{a}{b}[/math] (onde a e b são números naturais) como o quociente por b do produto de q por a, representá-lo por q × r e r × q e reconhecer que (-q) × r = r × (-q) = – (q × r).
  5. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do produto de -1 por um número q como o respetivo simétrico e representá-lo por (-1) × q e por q × (-1).
  6. Identificar, dados dois números racionais positivos q e r, o produto (-q) × (-r) como q × r, começando por observar que (-q) × (-r) = (q × (-1)) × (-r).
  7. Saber que o produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos dos fatores, sendo o sinal positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta propriedade em exemplos concretos.
  8. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação do quociente entre um número q (o dividendo) e um número não nulo r (o divisor) como o número racional cujo produto pelo divisor é igual ao dividendo e reconhecer que [math]\frac{-q}{r}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r}[/math].
  9. Saber que o quociente entre um número racional e um número racional não nulo é o número racional cujo valor absoluto é igual ao quociente dos valores absolutos, sendo o sinal positivo se estes números tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário, verificando esta propriedade em exemplos concretos.

 


 

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